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【数学近世代数证明:若把同构的群看作一个群,则阶为4的循环群只有两个。】
更新时间:2024-04-20 21:53:10
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数学近世代数

证明:若把同构的群看作一个群,则阶为4的循环群只有两个。

高天云回答:
  离散数学:证明四阶群g必为循环群或klein群   2009-06-2510:07luhongwei489|分类:学习帮助|浏览1851次   2009-06-2615:16提问者采纳   证明由拉格郎日定理可知,四阶群的元素的阶一定能整除群的阶4,故四阶群的元素的阶只能是1(幺元是唯一的1阶元),2,4,如果有一个元是4阶元,则该元自乘能生成群的所有元素,此时它是循环群,这个4阶元素是该循环群的生成元,否则如果除幺元外,所有的元均是2阶元,则此时该群正是4阶klein群.   对“如果除幺元外,所有的元均是2阶元,则此时该群正是4阶klein群”的一点说明:设其幺元为e,2阶元为a、b、c,则ab只能等于c,否则若ab=e,两边同左乘a得到b=a,矛盾;或者若ab=a,两边同左乘a得到b=e,矛盾;或者若ab=b,两边同右乘b得到a=e,矛盾。同理,ba=c,ac=ca=b,bc=cb=a。因此满足除幺元外,所有的元均是2阶元的四阶群唯一(即4阶klein群)。
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