（2013•乐山）如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON=3．（1）求抛物线C的解析式；（2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′
更新时间：2024-04-20 08:17:53
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问题描述：
（2013•乐山）如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON=3．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B为抛物线C′上横坐标为2的点．
①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
②过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O-B-A于点E1，F1，再分别以线段EE1，FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2，等边△FF1F2．点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值．
江宇闻回答：
（1）∵对称轴MN的解析式为x=-3，∴ON=3，
∵tan∠MON=3，∴MN=9，
∴M（-3，-9），
∴设抛物线C的解析式为y=a（x+3）2-9，
∵抛物线C经过原点，∴0=a（0+3）2-9，解得a=1，
∴抛物线C的解析式为y=（x+3）2-9，即y=x2+6x；
（2）①∵将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，
∴抛物线C与抛物线C′关于原点O对称，
∴抛物线C′的解析式为y=-x2+6x，
∵当y=0时，x=0或6，
∴点A的坐标为（6，0），
∵点B在抛物线C′上，且其横坐标为2，
∴y=-22+6×2=8，即点B的坐标为（2，8）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则6k+b＝02k+b＝8
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