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数学对数证明题△ABC的三边为a,b,c,且满足8^a=8^b*2^c,log_2c(b)+log_2c(3a-2c)=2,试判断△ABC的形状,并写出推理过程.
更新时间:2024-03-29 08:40:16
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问题描述:

数学对数证明题

△ABC的三边为a,b,c,且满足8^a=8^b*2^c,log_2c(b)+log_2c(3a-2c)=2,试判断△ABC的形状,并写出推理过程.

葛伟平回答:
  对已知条件8^a=8^b*2^c进行变化:   原式(2^3)^a=(2^3)^b*2^c   2^(3a)=2^(3b)*2^c   2^(3a)=2^(3b+c)   3a=3b+c   a=b+c/3*   再对已知条件log_2c(b)+log_2c(3a-2c)=2进行变化:   原式log_2c[b*(3a-2c)]=log_2c(2c)^   b*(3a-2c)=(2c)^   将“*”式代入上面的等式:   上式b*(3b+c-2c)=4c^   3b^-bc-4c^=0   (3b-4c)*(b+c)=0   3b=4c(b,c是三角形的边,肯定各自大于0,相加更是大于0,于是可以约掉)   b=4c/3   将上式代入“*”式:   "*"a=4c/3+c/3=5c/3   这样,求出了a,b,c三边各自的对应关系,可以轻易判断出△ABC是直角三角形,其中∠A是直角,   a^=25c^/9   而b^+c^=(4c/3)^+c^=16c^/9+c^=25c^/9   a^=b^+c^   由勾股定理的逆定理,可判断出△ABC是以∠A为直角的直角三角形
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