当前位置 :
一道江苏省启东中学高三综合测试三的数学题,进来吧(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C,证明:⊿ABC的垂心H也在该双曲线上;(2)若正三角形ABC的一
更新时间:2024-03-29 00:01:59
1人问答
问题描述:

一道江苏省启东中学高三综合测试三的数学题,进来吧

(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C,证明:⊿ABC的垂心H也在该双曲线上;

(2)若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1),另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上,求顶点A、B的坐标.

高崇辉回答:
  第一题:   设ABC三点分别为(x1,y1)、(x2,y2),(x3,y3),垂心H为(m,n),AB斜率为K12,BC斜率为K23,AC斜率为K13.先证明一个结论:m=K13/x2   由y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3=>y1-y2=1/x1-1/x2=(x2-x1)/(x1*x2)和y2-y3=(x3-x2)/(x2*x3)   =>(y2-y1)/(x2-x1)=-1/(x1*x2).(1)   (y3-y2)/(x3-x2)=-1/(x2*x3).(2)   因为H是三角形ABC的垂心,则   (y3-y2)/(x3-x2)*(y1-n)/(x1-m)=-1.(3)   (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-n)/(x3-m)=-1.(4)   将(1)(2)代入得   y1-n=x1*x2*x3-m*x2*x3   y3-n=x1*x2*x3-m*x1*x2   两式相减得:   y1-y3=x2*m*(x1-x3)   =>m=k13/x2=k13*y2=>K13=x2*m   所以上述结论成立   下面利用这个结论证明:m*n=1   由(3)(4)式知   K13*(y2-n)/(x2-m)=-1代入K13=x2*m   得:x2*m*y2-m*n*x2=-x2+m   =>m-m*n*x2=-x2+m   =>m*n=1   所以△ABC的垂心H也在该双曲线上   第二题:   由第一题可知,正三角形ABC的垂心在双曲线xy=1上,由等边三角形及双曲线xy=1的对称性可知,该三角形的垂心为直线y=x与双曲线xy=1在第一象限内的交点,从而可知垂心H坐标为(1,1),可计算出H到C点的距离为2√2,易知HC线段的长度为该正三角形顶点C到边AB距离为3√2,从而推出该正三角形的变长为2√6.过顶点C向AB做垂线交AB于D,易知D点坐标为D(2,2).易知该正三角形的边AB所在直线方程为y=-x+4.由该直线方程y=-x+4与双曲线方程xy=1联立,即可得到A、B两点坐标分别为A(2+√3,2-√3)B(2-√3,2+√3)或A(2-√3,2+√3)B(2+√3,2-√3)   既然是启东的学生,一些很容易推理的过程我也就省了,声的说我啰嗦撒,呵呵.   第一题只要证明出来,第二题很easy的.   望采纳,谢谢
综合推荐
综合推荐
最新更新
优秀综合推荐
热门综合
查询网(737j.com)汇总了汉语字典,新华字典,成语字典,组词,词语,在线查字典,中文字典,英汉字典,在线字典,康熙字典等等,是学生查询学习资料的好帮手,是老师教学的好助手。
声明:本网站尊重并保护知识产权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果我们转载的作品侵犯了您的权利,请在一个月内通知我们,我们会及时删除。

邮箱:  联系方式:

Copyright©2009-2021 查询网 737j.com 版权所有 闽ICP备2021002823号-7