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高一数学立体几何证明题在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设E是棱CC1的中点.1.求证:BD垂直于AE2.求证:AC平行于B1DE3.求三棱锥A-B1DE的体积第二问EH怎么平行于AC了,不懂
更新时间:2022-08-19
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问题描述:

高一数学立体几何证明题

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设E是棱CC1的中点.

1.求证:BD垂直于AE

2.求证:AC平行于B1DE

3.求三棱锥A-B1DE的体积

第二问EH怎么平行于AC了,不懂

吕文学回答:
  1,证明:BD垂直于AC,BD垂直于CC1.所以BD垂直于面ACC1A1.又因为AE在面ACC1A1内,所以BD垂直于AE   2,证明:延长DE,与D1C1相交于F点(你自己画个图对照一下).根据相似三角形,D1C1=C1F.根据图形可知A1C1平行于B1F,而A1C1平行于AC.所以AC平行于B1F.又因为B1F在面B1DE内,所以AC平行于面B1DE.   3,解:建立立体直角坐标系O-XYZ.   A=(0,2,2)D=(2,2,2)E=(2,0,1)B1=(0,0,0)   AD向量=(2,0,0)AB1向量=(0,-2,-2)   设面ADB1的法向量为N=(X,Y,Z)   则:N向量*AD向量=0,N向量*AB1向量=0   2X=0,2Y+2Z=0   令Y=1则X=O,Y=1,Z=-1   N向量为N=(0,1,-1)   DE向量=(0,-2,-1)   所以E到面AB1D的距离为d=|(N向量*DE向量)/N的模|=(根号2)/2   三角形AB1D是直角三角形,面积S=2*根号2   所以体积为(1/3)*S*d=2/3
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