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如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB,(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求∠P的度数;(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,AB=4,
更新时间:2024-03-29 07:01:03
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问题描述:

如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB,
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求∠P的度数;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,AB=4,求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。

刘学亮回答:
  (1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,∴∠A=∠ACO=∠PCB,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACO+∠OCB=90°,∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP,∵OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线。(2)∵PC=AC,∴∠A=∠P,∴∠A=∠ACO=∠P,∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°,∴3∠P=90°,∴∠P=30°。(3)∵点M是半圆O的中点,∴∠BCM=45°,由(2)知∠BMC=∠A=∠P=30°,∴BC=AB=2,作BD⊥CM于D,∴CD=BD=,∴DM=,∴CM=, ∴S△BCM=,∵∠BOC=2∠A=60°,∴弓形BmC的面积=,∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为。
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