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如图1,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA交AD于点Q,PS∥BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形.(1)当点P与点B重合时,图1变为图2,若∠ABD=
更新时间:2024-04-28 05:50:30
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问题描述:

如图1,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA交AD于点Q,PS∥BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形.

(1)当点P与点B重合时,图1变为图2,若∠ABD=90°,求证:△ABR≌△CRD;

(2)对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD还应满足什么条件?

莫桂花回答:
  (1)证明:∵∠ABD=90°,AB∥CR,   ∴CR⊥BD.   ∵BC=CD,   ∴∠BCR=∠DCR.   ∵四边形ABCR是平行四边形,   ∴∠BCR=∠BAR.   ∴∠BAR=∠DCR.   又∵AB=CR,AR=BC=CD,   ∴△ABR≌△CRD(SAS).   (2)由PS∥QR,PS∥RD(四边形PRDS为平行四边形)知,点R在QD上,   又∵PS∥BC,PS∥RD,   故BC∥AD.   又由AB=CD知∠A=∠CDA,   因为SR∥PQ∥BA,   所以∠SRD=∠A=∠CDA,从而SR=SD.   由PS∥BC   ∴△DCB∽△DSP,   ∵BC=CD,   ∴SP=SD.而SP=DR,   所以SR=SD=RD,   故∠CDA=60°.   因此四边形ABCD还应满足BC∥AD,∠CDA=60°.   (注:若推出的条件为BC∥AD,∠BAD=60°或BC∥AD,∠BCD=120°等亦可.)
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