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高三数学综合题已知△ABC的顶点A(0,3),底边BC在x轴上且|BC|=2,当BC在x轴上滑动时.(1)求△ABC外心P的轨迹方程;(2)若直线l过点Q(0,2)且直线l被(1)所求得的轨迹截得的线段常为(5√5)/2,求直线l的方
更新时间:2024-04-26 14:44:11
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问题描述:

高三数学综合题

已知△ABC的顶点A(0,3),底边BC在x轴上且|BC|=2,当BC在x轴上滑动时.

(1)求△ABC外心P的轨迹方程;

(2)若直线l过点Q(0,2)且直线l被(1)所求得的轨迹截得的线段常为(5√5)/2,求直线l的方程.

PS:(5√5)/2为“二分之五根号五”

火长跃回答:
  (1)求△ABC外心P的轨迹方程   设P(x,y).由于P外心,P处于BC的中垂线上.设B(x-1,0),C(x+1,0).   由|PA|=|PB|即|PA|^2=|PB|^2   得x^2+(y-3)^2=1+y^2,整理得x^2=6y-8(这是一条抛物线)   所以△ABC外心P的轨迹方程为x^2=6y-8.   (2)求直线l的方程   根据P的轨迹知必要求l的斜率存在.设l的方程为y-2=kx.   联立l与P的轨迹方程,消去y得x^2-6kx-4=0   则x1+x2=6k,x1*x2=-4,故(x1-x2)^2=36k^2+16   则y1+y2=6k^2+4,y1*y2=8k^2+4,故(y1-y2)^2=36k^4+16k^2   所以(36k^2+16)+(36k^4+16k^2)=[(5√5)/2]^2   解得k=1/2or-1/2   所以l的方程为y=(1/2)x+2ory=(-1/2)x+2.
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