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【在高中数学中雯波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=(An+2)-(An+1...在高中数学中雯波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=(An+2)-(An+1),式】
更新时间:2024-04-26 15:51:06
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问题描述:

在高中数学中雯波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=(An+2)-(An+1...

在高中数学中雯波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=(An+2)-(An+1),式中n在A的下方,2和1都是与n相加的,也在A的下方.但是书上的答案却不是这个.哪位高手说下上式哪错了?

靳永强回答:
  这个是个递推式   通项式求法   由an+2=an+1+an   有an+2-an+1-an=0   构造特征方程x2-x-1=0,   令它的两个根是p,q有pq=-1p+q=1   下面我们来证{an+1-pan}是以q为公比的等比数列.   为了推导的方便,令a0=1,仍满足an+2=an+1+an   an+1-pan   =an+an-1-pan   =(1-p)an-pqan-1   =q(an-pan-1)   所以:{an+1-pan}是以q为公比的等比数列.   a1-pa0   =1-p=q   所以an+1-pan=q*qn=qn+1①   同理an+1-qan=p*pn=pn+1②   ①-②:(q-p)an=qn+1-pn   因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2,q-p=√5,所以   an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2]n+1}   可验证a0,a1也适合以上通项公式.
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